Можно ли уволиться военнослужащему по контракту, если часть перевели в другой регион?

Можно, но, если в рапорте вы укажете причины увольнения и подтвердите их документально, аттестационная комиссия части признает их (причины) уважительными, а командир и должностное лицо, наделенное правом увольнять, будут руководствоваться этим решением.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 29.05.2014 № 8 «О практике применения судами законодательства о воинской обязанности, военной службе и статусе военнослужащих»

47. При проверке законности и обоснованности действий воинских должностных лиц, связанных с увольнением военнослужащего с военной службы по собственному желанию, судам необходимо учитывать, что согласно пункту 6 статьи 51 Федерального закона «О воинской обязанности и военной службе» военнослужащий по заключению аттестационной комиссии может быть уволен с военной службы досрочно по собственному желанию при наличии у него уважительных причин.
Под уважительными причинами понимаются обстоятельства, которые объективно не позволяют военнослужащему в полном объеме выполнять условия заключенного контракта.
Поданный военнослужащим рапорт и соответствующее заключение аттестационной комиссии не являются безусловными основаниями для увольнения по собственному желанию, поскольку решение данного вопроса отнесено к полномочиям соответствующего воинского должностного лица.