Имеет ли право учитель носить татуировки?

Прямого нарушения закона здесь не будет.

Вместе с тем, могут возникнуть существенные проблемы на педагогической  работе, поскольку понятие «вульгарно» является оценочным (и оценку даёт общество, а не закон).

Само по себе наличие татуировки — не зависимо от содержания и смысла изображения значительной частью общества (в т.ч. — родителями и родственниками детей, другими педагогами, руководством образовательного учреждения и проч.) как правило воспринимается как нечто вульгальрное и неприемлемое...