Как быть, если виновник аварии добровольно обещал оплатить ущерб, но исчез?

Здравствуйте, Анастасия! 

Во-первых, брать в залог чужой документ — это не верно как юридически (наличие у Вас этого документа ничего не доказывает по обязательствам человека. Он всегда может заявить, что документ потерял, его украли или Вы его заставили отдать паспорт, вымогая деньги за ущерб при ДТП). И в расписке писать про паспорт вообще не надо было. 

Так как Вы, равно как и этот человек, покинули место ДТП — это может влечь адм.ответственность для Вас, и серьезную — вплоть до адм.ареста. И Ваш скрывшийся человек знает об этом, видимо, и полагает, что Вы, узнав про это, не будете обращаться в ГИБДД. 

КоАП РФ. Статья 12.27. Невыполнение обязанностей в связи с дорожно-транспортным происшествием

2. Оставление водителем в нарушение Правил дорожного движения места дорожно-транспортного происшествия, участником которого он являлся, — влечет лишение права управления транспортными средствами на срок от одного года до полутора лет или административный арест на срок до пятнадцати суток.

Взяв паспорт в залог, Вы совершили еще одно административное правонарушение: 

КоАП РФ. Статья 19.17. Незаконное изъятие документа, удостоверяющего личность гражданина (паспорта), или принятие документа, удостоверяющего личность гражданина (паспорта), в залог
1. Незаконное изъятие должностным лицом документа, удостоверяющего личность гражданина (паспорта), - влечет наложение административного штрафа в размере от ста до трехсот рублей.

2. Принятие документа, удостоверяющего личность гражданина (паспорта), в залог — влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере ста рублей.

Что делать — либо пойти в территориальный отдел внутренних дел и сдать паспорт как найденный, и забыть про возмещение ущерба со стороны лица, указанного в паспорте. Либо заявит, что брали его как залог и быть подвергнутой адм.штрафу по двум статьям (за залог паспорта и оставление места ДТП). Либо найти этого человека и убедить его вернуть оплатить ущерб в обмен на паспорт — но я, так понимаю, что этот вариант бессмысленный. 

Вы, конечно, можете и выбросить этот паспорт. Брал ли человек от Вас заверенную Вами копию этой расписки (что Вы от него получили паспорт в залог)? От этого зависит, что делать, если этот человек вдруг к Вам предъявит претензии, что виноваты в ДТП были вообще-то Вы, да еще и вымогали у него деньги, забрав паспорт.