Здравствуйте, Николай.
Во-первых, Ваш ребенок получит российское гражданство по рождению.
Основание: ФЗ "О гражданстве РФ":
Статья 12. Приобретение гражданства Российской Федерации по рождению
1. Ребенок приобретает гражданство Российской Федерации по рождению, если на день рождения ребенка:
......................................
г) оба его родителя или единственный его родитель, проживающие на территории Российской Федерации, являются иностранными гражданами или лицами без гражданства, при условии, что ребенок родился на территории Российской Федерации, а государство, гражданами которого являются его родители или единственный его родитель, не предоставляет ребенку свое гражданство.
Далее, про постановку на учет. 255-ФЗ (ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН ОБ ОБЯЗАТЕЛЬНОМ СОЦИАЛЬНОМ СТРАХОВАНИИ НА СЛУЧАЙ ВРЕМЕННОЙ НЕТРУДОСПОСОБНОСТИ И В СВЯЗИ С МАТЕРИНСТВОМ):
Статья 1.2. Основные понятия, используемые в настоящем Федеральном законе
1. Для целей настоящего Федерального закона используются следующие основные понятия:
2) страховой случай по обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством - свершившееся событие, с наступлением которого возникает обязанность страховщика, а в отдельных случаях, установленных настоящим Федеральным законом, страхователя осуществлять страховое обеспечение;
То есть если у Вашей гражданской жены оформлен страховой медицинский полис ОМС (как Вы поясняете в своем вопросе), она без проблем встанет на учет на совершенно законных основаниях.
Вот права и обязанности застрахованного лица (то есть Вашей гражданской жены) из того же 255-ФЗ:
Статья 4.3. Права и обязанности застрахованных лиц
1. Застрахованные лица имеют право:
1) своевременно и в полном объеме получать страховое обеспечение в соответствии с законодательством Российской Федерации об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством;
2) беспрепятственно получать от страхователя справку о сумме заработка, а также информацию о начислении страховых взносов и осуществлять контроль за их перечислением в Фонд социального страхования Российской Федерации;
3) обращаться к страхователю и страховщику за консультациями по применению законодательства Российской Федерации об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством;
4) обращаться к страховщику с запросом о проведении проверки правильности выплаты страхователем страхового обеспечения;
5) защищать лично или через представителя свои права, в том числе в судебном порядке.
2. Застрахованные лица обязаны:
1) представлять страхователю, а в случаях, установленных законодательством Российской Федерации об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством, страховщику достоверные документы, на основании которых выплачивается страховое обеспечение;
2) уведомлять страхователя (страховщика) об обстоятельствах, влияющих на условия предоставления и размер страхового обеспечения, в течение 10 дней со дня их возникновения;
3) соблюдать режим лечения, определенный на период временной нетрудоспособности, и правила поведения больного в медицинских организациях;
4) выполнять иные требования, установленные законодательством Российской Федерации об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством.
3. В случае невыполнения застрахованными лицами обязанностей, установленных частью 2 настоящей статьи, страховщик вправе взыскать с них причиненный ущерб в соответствии с законодательством Российской Федерации.
Зарегистрировать брак вы успеете и позже. Это не повлияет на решение Вашего вопроса.
Также на будущее посмотрите нормы 81-ФЗ:
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН О ГОСУДАРСТВЕННЫХ ПОСОБИЯХ ГРАЖДАНАМ, ИМЕЮЩИМ ДЕТЕЙ
Статья 1. Сфера действия настоящего Федерального закона
Действие настоящего Федерального закона распространяется на:
.........................................
постоянно проживающих на территории Российской Федерации иностранных граждан и лиц без гражданства, а также беженцев; временно проживающих на территории Российской Федерации и подлежащих обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством иностранных граждан и лиц без гражданства.
По поводу уточнения: у Вас на руках договор страхования, это документ на основании которого Ваша гражданская жена имеет право обратиться в поликлинику по месту проживания. То обстоятельство, что к договору имеется некое разъяснение (которое не предусмотрено законом, нарушает права матери и ребенка), то это ничего не меняет. Будут отказывать - составим жалобу в вышестоящее медучреждение, минздрав региона, прокуратуру, либо суд. Прочтите еще раз внимательно все ответы выше.