Можно ли данную организацию привлечь к ответственности?

Да, конечно.

Статья 24. Ответственность за нарушение требований настоящего Федерального закона
1. Лица, виновные в нарушении требований настоящего Федерального закона, несут предусмотренную законодательством Российской Федерации ответственность.

2. Моральный вред, причиненный субъекту персональных данных вследствие нарушения его прав, нарушения правил обработки персональных данных, установленных настоящим Федеральным законом, а также требований к защите персональных данных, установленных в соответствии с настоящим Федеральным законом, подлежит возмещению в соответствии с законодательством Российской Федерации. Возмещение морального вреда осуществляется независимо от возмещения имущественного вреда и понесенных субъектом персональных данных убытков.

Федеральный закон от 27.07.2006 № 152-ФЗ
О персональных данных

Статья 13.11. Нарушение законодательства Российской Федерации в области персональных данных

6. Невыполнение оператором при обработке персональных данных без использования средств автоматизации обязанности по соблюдению условий, обеспечивающих в соответствии с законодательством Российской Федерации в области персональных данных сохранность персональных данных при хранении материальных носителей персональных данных и исключающих несанкционированный к ним доступ, если это повлекло неправомерный или случайный доступ к персональным данным, их уничтожение, изменение, блокирование, копирование, предоставление, распространение либо иные неправомерные действия в отношении персональных данных, при отсутствии признаков уголовно наказуемого деяния —

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от семисот до двух тысяч рублей; на должностных лиц — от четырех тысяч до десяти тысяч рублей; на индивидуальных предпринимателей — от десяти тысяч до двадцати тысяч рублей; на юридических лиц — от двадцати пяти тысяч до пятидесяти тысяч рублей.

Кодекс РФ об административных правонарушениях