Не законная съемка сайта и товарного знака без разрешения

1. Все зависит от целей использования. 

пп. 1п. 1 ст. 1274 ГК РФ

Допускается без согласия автора или иного правообладателя и без выплаты вознаграждения, но с обязательным указанием имени автора, произведение которого используется, и источника заимствования:
1)цитирование в оригинале и в переводе в научных, полемических, критических, информационных, учебных целях, в целях раскрытия творческого замысла автора правомерно обнародованных произведений в объеме, оправданном целью цитирования, включая воспроизведение отрывков из газетных и журнальных статей в форме обзоров печати;

и тоже самое на счет их товарного знака. если на моем видео есть их товарный знак, есть ли у них основания для претензий?

Если в результате использования товарного знака не возникает вероятность смешения, то нарушение маловероятно. 

2. Наличие у правообладателя исключительного права на произведение в контексте 

выкладывать потом это в интернет?

за исключением случаев возможности свободного использования произведения ст. 1274 ГК РФ. 

чем грозит если я оставлю все как есть?

Если размещенная вами информация не соответствует действительности («обман» и т.п.), то иск о защите деловой репутации. 

Денис, добрый вечер! Согласно ст. 1484 ГК РФ

Лицу, на имя которого зарегистрирован товарный знак (правообладателю), принадлежит исключительное право использования товарного знака в соответствии со статьей 1229 настоящего Кодекса любым не противоречащим закону способом (исключительное право на товарный знак), в том числе способами, указанными в пункте 2 настоящей статьи. 

а статьей 1229 ГК в свою очередь предусмотрено, что правообладатель может по своему усмотрению разрешать или запрещать другим лицам использование результата интеллектуальной деятельности или средства индивидуализации. Отсутствие запрета не считается согласием (разрешением).

Зарегистрированный в установленном порядке товарный знак помимо того, что является средством индивидуализации товаров и услуг представляет из себя графическое изображение — результат интеллектуальной деятельности поэтому именно визуальное изображение ТЗ ( в данном случае знака обслуживания скорее т.к. речь не о товаре а скорее об услугах) из видео надо удалить, в этом случае оснований ля претензий к Вам быть не должно кроме как в рамках ст. 152 ГК РФ (распространение сведений порочащих деловую репутацию)