Как подаётся заявление о переосвидетельствовании в военном билете?

Наверное по той причине, что при поступлении в МВД и МЧС вы проходите медицинское освидетельствование у них.

А так, положение о военно-врачебной экспертизе устанавливает, что

На военно-врачебную комиссию возлагаются:
а) проведение медицинского освидетельствования (далее — освидетельствование):

граждан, поступающих на военную службу по контракту;
граждан, поступающих на приравненную службу;
военнослужащих;
сотрудников органов внутренних дел Российской Федерации, сотрудников, имеющих специальные звания и проходящих службу в учреждениях и органах уголовно-исполнительной системы, федеральной противопожарной службы Государственной противопожарной службы, таможенных органах Российской Федерации, лиц, проходящих службу в войсках национальной гвардии Российской Федерации и имеющих специальные звания полиции (далее — сотрудники);

граждан, поступающих в военные профессиональные образовательные организации или военные образовательные организации высшего образования (далее — военно-учебные заведения);

граждан, поступающих в федеральные государственные образовательные организации, находящиеся в ведении федеральных органов исполнительной власти, в которых федеральным законом предусмотрена приравненная служба (далее — учебные заведения);
граждан, изъявивших желание в процессе обучения по основной образовательной программе пройти и проходящих военную подготовку в учебных военных центрах, на факультетах военного обучения (военных кафедрах) при федеральных государственных образовательных организациях высшего образования (далее — образовательные организации), в военных образовательных организациях высшего образования по программе военной подготовки сержантов, старшин запаса либо программе военной подготовки солдат, матросов запаса, граждан, прошедших военную подготовку в учебных военных центрах, на факультетах военного обучения (военных кафедрах) при образовательных организациях, в военных образовательных организациях высшего образования по программе военной подготовки сержантов, старшин запаса либо программе военной подготовки солдат, матросов запаса и оканчивающих образовательную организацию;

граждан, прошедших военную службу;
граждан, не проходивших военную службу и пребывающих в запасе;
граждан, прошедших приравненную службу;
граждан, призываемых на военные сборы;
граждан, проходящих военные сборы;
граждан, проходивших военные сборы;
членов семей военнослужащих (кроме военнослужащих, проходящих военную службу по призыву);
членов семей сотрудников;
граждан, проходящих альтернативную гражданскую службу;
федеральных государственных гражданских служащих;
граждан из числа гражданского персонала и членов семей указанных граждан, направляемых для работы в иностранные государства;
граждан, поступающих в мобилизационный людской резерв;

Пункт 24 Положения о военно-врачебной экспертизе:

Организация освидетельствования граждан, не проходящих военную службу и поступающих на военную службу по контракту в Вооруженные Силы, другие войска и воинские формирования, органы военной прокуратуры, военные следственные органы Следственного комитета Российской Федерации, граждан, поступающих в мобилизационный людской резерв Вооруженных Сил, других войск и воинских формирований, возлагается на военно-врачебные комиссии военных комиссариатов муниципальных образований.

Как видите, МВД и МЧС не указаны.

Вместе с тем, если у вас изменилось состояние здоровья, это прямо сказывается и на вашу возможность проходить службу в иных родах войск, куда ранее вас не могли направить. А значит лишать вас права пройти повторное освидетельствования нельзя.

Если военкомат отказывает, можете обжаловать его решение в суд.

Само по себе повторное освидетельствование может занять один день, кроме случаев, когда гражданина направляют в стационар для проверки диагноза.

Проходите врача-хирурга, врача-терапевта, врача-невролога, врача-психиатра, врача-офтальмолога, врача-оториноларинголога, врача-стоматолога и при необходимости — врачи других специальностей.