Можно ли отправлять подписанный договор на оказание услуг почтой?

Нелли, доброго времени суток! Ваши опасения вполне оправданны в наше непростое время. Действительно есть риски того, что Ваши персональные данные, а также подпись могут быть распространены. Однако, как я полагаю, в данном случае Вам не стоит беспокоиться, поскольку сайт просто хочет получить от Вас закрывающие документы для сдачи своей отчетности в виде договора и скорее всего акта выполненных работ. Если Вы сомневаетесь попросите их сперва Вам прислать 2 экземпляра договора и акта, а потом уже отправляйте назад.

Прошла обучение онлайн-курсов, после окончания попросили скачать договор, подписать и отправить почтой. Я боюсь, не пойдут ли куда-нибудь в нехорошее место мои документы с реальной подписью?

 Здравствуйте, я  думаю что вам не нужно опасаться направлять договор, это обычная практика, когда нет возможности передать документы лично, вы наверняка ранее где то работали и там также остались документы с вашей подписью. Тем более ведь вы ставите свою подпись именно в договоре на оказание услуг, а не в ином документе. Конечно, ничего нельзя исключать, но такие случаи очень редки (я лично не знаю ни одного) и  можно в случае чего доказать экспертизой, что подпись не ваша.