Какие пошлины должен будет уплатить правнук при вступлении в наследство?

Пошлину платить не нужно

Согласно Налоговому кодексу статья 333.38. Льготы при обращении за совершением нотариальных действий

Наследники, не достигшие совершеннолетия ко дню открытия наследства, а также лица, страдающие психическими расстройствами, над которыми в порядке, определенном законодательством, установлена опека, освобождаются от уплаты государственной пошлины при получении свидетельства о праве на наследство во всех случаях независимо от вида наследственного имущества;