Имеют ли право меня принять на работу в данном случае?

Добрый день, коллега отметил верно, но то, что с Вами надлежащим образом не оформлены отношения, не означает, что Вы работаете неофициально — Ваши отношения являются трудовыми по закону согласно статье 67 Трудового кодекса РФ:

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

Эти же последствия касаются и Вашей ситуации, то, что Вы пока не подписали трудовой договор и у Вас не взяли трудовую книжку, не означает отсутствие трудовых отношений, только работодатель нарушает закон в данной ситуации, нарушая порядок оформления документов. А Ваш допуск к работе закону соответствует.

Просто в компании так принято, что полтора месяца работник работает неофициально. Потом с ним уже заключают трудовой договор. Просто если у меня возникнет необходимость уволиться за этот период, то по идее, я могу написать заявление и не отрабатывая уйти, так как все документы у меня на руках. Но в компании любят проводить увольнения и приемы на работу без заявлений, только потом уведомлять сотрудника об этом.