Имею ли я право находиться на больничном с ребенком?

Да, конечно, ФЗ «О статусе военнослужащих» никаких ограничений не содержит. Мало того, есть Приказ Минобороны РФ от 30 июня 2006 г. N 200, в котором в п.62 прямо говорится о том, что-

 Военнослужащим, проходящим военную службу по контракту, освобожденным от исполнения должностных обязанностей в связи с уходом за больным членом семьи на основании больничного листа (справки) лечебного учреждения, денежное довольствие выплачивается в полном объеме за период освобождения от исполнения должностных обязанностей.