Обязательно ли досудебное урегулирование до подачи иска об установлении факта трудовых отношений?

И я так и сделал, затем отработал, предоставил отчёт о проделанной работе (физико-географическое исследование). Мне сначала по e-mail сказали «спасибо», а теперь по телефону говорят, что с моей Ф.И.О. у них ни кто не работал. Другой их сотрудник предъявляет претензию по оформлению отчёта, но меня сейчас интересует, работал (работаю) ли я у них. В договоре содержатся следующие фразы, которые, возможно, помогут ответить на этот вопрос:
1) Заказчик обязуется принять надлежащим образом исполненные обязательства, путем подписания акта выполненных работ.
2) Настоящий договор действует с момента его подписания и до полного исполнения Сторонами своих обязательств.

Это не трудовой договор, это гражданско-правовой договор на выполнение работ. Чтобы признать его трудовым, нужно обращаться в суд. Но Вам обращаться не с чем, если у Вас нет подписанного заказчиком договора. Да и с учетом ваших уточнений, полагаю, что трудовых отношений, действительно, не было.

Скорее всего, Ваш спор находится не в плоскости трудовых, а в плоскости гражданско-правовых правоотношений. Вам либо взыскивать с заказчика неосновательное обогащение (если договор не заключен) либо доказывать, что договор таки был заключен (тут надо смотреть всю переписку, что у Вас есть, все документы и т.д.), работы выполнены, приняты, но не оплачены и взыскивать оплату по договору.