Нет, не можете.
Есть трудовые отношения — это когда вы поступаете на работу, заключаете трудовой договор, работодатель вносит соответствующие записи в вашу трудовую книжку и хранит ее у себя в сейфе на протяжении всей вашей работы.
А есть военная служба по контракту — вы заключаете контракт, заводится личное дело военнослужащего и все перемещения по службе вносят в данное дело (послужной список).
Так вот, военная служба не является работой, а является службой. Когда вы служили кадровые органы войсковой части не вносили в вашу трудовую книжку никаких записей, не хранили ее (книжку) у себя, а при увольнении — не вносили в нее записи об увольнении.
В Вооруженных Силах Российской Федерации у военнослужащих вообще нет трудовых книжек, соответственно кадровые органы не будут заниматься восстановлением того документа, к которому они отношения не имеют.
Поэтому либо обращайтесь к реальному последнему вашему работодателю, у которого вы работали до поступления на военную службу, либо поступая на новую работу пишите заявление об оформлении новой трудовой книжки взамен утерянной