Правомерно ли мне отказывают в постановке на учет на бирже труда?

Можете обжаловать в суд, т.к. отказ неправомерен. Нигде в законе не указано такое основание как у вас.  Можете просить у них письменный отказ на руки.

Вам должны дать решение об отказе в постановке на учёт в качестве безработного

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ ЗАКОН О ЗАНЯТОСТИ НАСЕЛЕНИЯ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ от 1991 г.

1. Безработными признаются трудоспособные граждане, которые не имеют работы и заработка, зарегистрированы в органах службы занятости в целях поиска подходящей работы, ищут работу и готовы приступить к ней.

Утверждены

постановлением Правительства

Российской Федерации

от 7 сентября 2012 г. N 891

ПРАВИЛА РЕГИСТРАЦИИ ГРАЖДАН В ЦЕЛЯХ ПОИСКА ПОДХОДЯЩЕЙ РАБОТЫ

3. Постановка на регистрационный учет осуществляется государственными учреждениями службы занятости населения при предъявлении гражданами следующих документов:

а) паспорт гражданина Российской Федерации или документ, его заменяющий;

4. При постановке на регистрационный учет граждане могут предъявить в том числе следующие документы:

а) трудовая книжка или документ, ее заменяющий, а также трудовые договоры и служебные контракты;

б) документы об образовании, документы об образовании и о квалификации, документы о квалификации, документы об обучении, документы об ученых степенях и ученых званиях;

в) справка о среднем заработке за последние 3 месяца по последнему месту работы;

г) документы, подтверждающие прекращение гражданами трудовой или иной деятельности в установленном законодательством Российской Федерации порядке;