Что будет, если объявится еще один прямой наследник?

Добрый вечер!

В течении какого времени я, являясь прямым наследником, стану собственником квартиры, которую я наследую не по завещанию, если я подаю заявление нотариусу на второй месяц со дня смерти родственника?

Нотариус будет ждать шесть месяцев и если есть другие наследники той же очереди, что и ВЫ, неважно, кто из наследников обратится первым. 

Согласно ст. 1163 ГК РФ:

Свидетельство о праве на наследство выдается наследникам в любое время по истечении шести месяцев со дня открытия наследства, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом.
2. При наследовании как по закону, так и по завещанию свидетельство о праве на наследство может быть выдано до истечения шести месяцев со дня открытия наследства, если имеются достоверные данные о том, что кроме лиц, обратившихся за выдачей свидетельства, иных наследников, имеющих право на наследство или его соответствующую часть, не имеется.

На практике ни разу свидетельство не было выдано до истечения шести месяцев. 

К наследникам первой очереди относятся дети, родители, супруги. Внуки наследуют по праву представления (то есть в том случае, если их родитель-наследник умер до открытия наследства).