Должен ли работодатель оплатить проезд при устранении ошибки в трудовой книжке?

В соответствии с ч. 1 ст. 232 Трудового кодекса РФ:

Сторона трудового договора (работодатель или работник), причинившая ущерб другой стороне, возмещает этот ущерб в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами.

Статья 233 Трудовго кодекса РФ уточняет: 

Материальная ответственность стороны трудового договора наступает за ущерб, причиненный ею другой стороне этого договора в результате ее виновного противоправного поведения (действий или бездействия), если иное не предусмотрено настоящим Кодексом или иными федеральными законами.

Таким образом, если неправильная или неточная запись в трудовой книжке произведена по вине работодателя, то он обязан возместить работнику ущерб в виде дополнительных расходов на проезд. С письменного согласия работника  возможна  пересылка трудовой книжки почтой; в этом случае работодатель возмещает работнику  почтовые расходы.