Нужно ли мне вставать на учёт в пробирной инспекции и получить лицензию на продажу?

Здравствуете.

Серебро относится к драгоценным металлам согласно —

Федеральный закон от 26.03.1998 №41-ФЗ «О драгоценных металлах и драгоценных камнях»
Статья 1. Основные понятия
В настоящем Федеральном законе используются следующие основные понятия:
драгоценные металлы — золото, серебро, платина и металлы платиновой группы (палладий, иридий, родий, рутений и осмий). Драгоценные металлы могут находиться в любом состоянии, виде, в том числе в самородном и аффинированном виде, а также в сырье, сплавах, полуфабрикатах, промышленных продуктах, химических соединениях, ювелирных и других изделиях, монетах, ломе и отходах производства и потребления.

соответственно - 

Постановлением Правительства РФ от 1 октября 2015 г. №1052 «О ведении специального учета юридических лиц и индивидуальных предпринимателей, осуществляющих операции с драгоценными металлами и драгоценными камнями»
2. Постановке на специальный учет подлежат юридические лица и индивидуальные предприниматели, осуществляющие операции с драгоценными металлами и драгоценными камнями (далее — юридические лица и индивидуальные предприниматели), за исключением:
а) кредитных организаций (банков);
б) организаций, использующих в своей деятельности химические соединения драгоценных металлов для проведения анализов;
в) организаций, осуществляющих куплю-продажу и (или) использование готовых форм фармацевтической, парфюмерной и косметической продукции, содержащей химические соединения драгоценных металлов;
г) образовательных организаций, использующих в своей деятельности химические соединения драгоценных металлов при осуществлении образовательных процессов;
д) организаций, осуществляющих куплю-продажу и (или) использование серебросодержащих фотопластинок, фото- и кинопленки, фотобумаги и прочих светочувствительных фотоматериалов;
е) организаций, осуществляющих куплю-продажу и (или) использование лакокрасочной продукции, содержащей драгоценные металлы;
ж) медицинских организаций, осуществляющих армирование нитями из драгоценных металлов, устанавливающих имплантаты, искусственные зубы, зубные протезы, протезные приспособления, а также использующих стоматологические цементы и другие стоматологические пломбировочные материалы, содержащие драгоценные металлы или изготовленные из них;
з) организаций, использующих машины и оборудование, приборы, инструменты, электронную технику, пускорегулирующие устройства и устройства автоматики, электрические устройства, комплектующие детали, узлы, содержащие драгоценные металлы, за исключением организаций, использующих изготовленные из драгоценных металлов и их сплавов стеклоплавильные устройства, тигли, катализаторные сетки, лабораторную посуду;
и) организаций, использующих для ремонта машин и оборудования, приборов, инструментов, электронной техники, пускорегулирующих устройств и устройств автоматики, электрических устройств химические соединения, сплавы, припои, содержащие драгоценные металлы;
к) организаций, осуществляющих куплю-продажу и (или) использующих в своей деятельности инструменты и (или) изделия производственно-технического назначения, содержащие природные алмазы.

Постановку на специальный учет осуществляет федеральное казенное учреждение «Российская государственная пробирная палата при Министерстве финансов Российской Федерации». 

Лицензия не требуется, согласно Федерального закона «О лицензировании отдельных видов деятельности» от 04.05.2011 №99-ФЗ.