Как обезопасить квартиру?

Здравствуйте, на настоящий момент он прав иметь не будет на жилье, поскольку согласно ст.60 СК РФ при жизни отца он никаких прав на его имущество не имеет.

СК РФ Статья 60. Имущественные права ребенка

4. Ребенок не имеет права собственности на имущество родителей, родители не имеют права собственности на имущество ребенка. Дети и родители, проживающие совместно, могут владеть и пользоваться имуществом друг друга по взаимному согласию.

Однако, в случае смерти отца, даже если все его имущество по завещанию будет передано иным лицам, если ребенок на момент смерти отца будет несовершеннолетним, он будет иметь право на обязательную долю в наследстве. Но вообще сначала нужно установить отцовство.  Если завещания от отца  не будет сын будет наследником первой очереди согласно ст.1142 ГК РФ и будет делить наследство в равных долях между наследниками первой очереди (дети родители супруга)

ГК РФ Статья 1149. Право на обязательную долю в наследстве
 

1. Несовершеннолетние или нетрудоспособные дети наследодателя, его нетрудоспособные супруг и родители, а также нетрудоспособные иждивенцы наследодателя, подлежащие призванию к наследованию на основании пунктов 1 и 2 статьи 1148 настоящего Кодекса, наследуют независимо от содержания завещания не менее половины доли, которая причиталась бы каждому из них при наследовании по закону (обязательная доля), если иное не предусмотрено настоящей статьей.

Здравствуйте, Екатерина.  «Гражданский кодекс Российской Федерации  Статья 1142. Наследники первой очереди 

1. Наследниками первой очереди по закону являются дети, супруг и родители наследодателя.

Поэтому в случае наступления определенных обстоятельств  указанный ребенок (при установлении отцовства в отношении вашего отца) сможет претендовать на долю в наследстве наравне с другими наследниками.

Что бы исключить такой поворот событий, после установления отцовства (при его положительном результате по экспертизе ДНК), например,.ваш отец свою долю может вам подарить.

 если это окажется его сын, имеет ли он право там проживать и имеет ли право на квартиру?

просто так проживать не имеет право.  Если только зарегистрировать его в квартире.

Хотелось бы узнать если имеет, то как обезопасить квартиру в свою пользу и чтоб они там не имели право проживать

вы же добровольно регистрировать его не будете, иначе он никак не вселиться, только если отец его не определит жить с собой.