В завещании бабушка отдала квартиру старшей дочери

К сожалению, если бабушка таким образом распорядилась своей недвижимостью, сделать Вы ничего не сможете. Так как Вы не относитесь к наследникам, которые имеют обязательную долю в наследстве.

ГК РФ Статья 1149. Право на обязательную долю в наследстве.

http://www.consultant.ru/docum...

Поэтому, как вариант на данный момент — это становиться на учет граждан в качестве нуждающихся в жилых помещениях. Но вот срок для предоставления Вам жилого помещения может составлять несколько лет. В зависимости от финансирования Вашего региона.

ЖК РФ Статья 52. Принятие на учет граждан в качестве нуждающихся в жилых помещениях

www.consultant.ru/docum...

Ваша тетя, если она оформила надлежащим образом наследство, как собственник недвижимости, может снять Вас с учета в судебном порядке.

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 (ред. от 25.05.2017) «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня лиц, ответственных за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации» устанавливает:

31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:

е) выселения из занимаемого жилого помещения или признания утратившим право пользования жилым помещением — на основании вступившего в законную силу решения суда.

http://www.consultant.ru/docum...

Вам могут дать определенный срок для проживания в данной недвижимости. Но, как правило, этот срок составляет один месяц.