Не собственник ТС

Здравствуйте! Водитель при себе должен иметь следующие документы: водительское удостоверение; свидетельство о регистрации транспортного средства, а если есть прицеп и на него; страховой полис ОСАГО. Несмотря на то, что с 24 ноября у водителей появилась возможность оформлять так называемый электронный полис, распечатанного на бумажном носителе документа не отменили.

Кроме того, для транспорта, который осуществляет пассажирские перевозки обязательными документом является путевой лист. 
Для грузового транспорта — разрешение на транспортировку большого или опасного груза по законодательству. 
Для водителей, осуществляющих международные перевозки, независимо грузовые или пассажирские, обязательно нужно иметь при себе документы, разрешающие такие перевозки. 

Для водителей с ограниченными возможностями — документы, подтверждающие инвалидность.

Здравствуйте! 

Может ли не собственник ТС, вписанный в страховку, ездить на авто без свидетельства о регистрации

Не может, это нарушение.

Перечень документов, которые должен иметь при себе водитель, определён п.2 Постановления Правительства РФ от 23.10.1993 N 1090 «О Правилах дорожного движения»

2.1.1. Иметь при себе и по требованию сотрудников полиции передавать им, для проверки:

водительское удостоверение или временное разрешение на право управления транспортным средством соответствующей категории или подкатегории;

регистрационные документы на данное транспортное средство (кроме мопедов), а при наличии прицепа — и на прицеп (кроме прицепов к мопедам);

страховой полис обязательного страхования гражданской ответственности владельца транспортного средства или распечатанную на бумажном носителе информацию о заключении договора такого обязательного страхования в виде электронного документа в случаях, когда обязанность по страхованию своей гражданской ответственности установлена федеральным законом.

Это обязательные документы для всех водителей. 

За управление  автомобилем без регистрационных документов предусмотрена административная ответственность по ст. 12.3 КоАП РФ.