Но возник вопрос, когда мы будем возвращаться домой, в Абхазию, не возникнет ли проблем с переходом границы с российской стороны

Добрый день.

Поскольку дочка не является гражданкой РФ, то проблем с ее возвращением не возникнет.

Оснований для ограничения ее выезда из страны в силу ст. 28 ФЗ от 15.08.1996 N 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» нет.

Согласие от ее родителей на пересечение границы получать не нужно.

В силу 

«Соглашения между Правительством Российской Федерации и Правительством Республики Абхазия о взаимных безвизовых поездках граждан Российской Федерации и Республики Абхазия» (заключено в г. Сухуме 02.10.2009)

1. Граждане государства одной Стороны независимо от места проживания могут въезжать, выезжать, следовать транзитом и пребывать на территории государства другой Стороны без виз сроком до 90 дней по одному из действительных документов, удостоверяющих личность и подтверждающих гражданство их владельцев, согласно Приложениям N 1 и N 2, являющимся неотъемлемой частью настоящего Соглашения.
2. Несовершеннолетние граждане государства одной Стороны въезжают, выезжают, следуют транзитом, передвигаются и пребывают на территории государства другой Стороны в соответствии с положениями настоящего Соглашения по документам, удостоверяющим их личность и подтверждающим гражданство их владельцев, или по заграничным паспортам сопровождающих их родителей, если несовершеннолетние граждане вписаны в эти заграничные паспорта, при условии, что это предусмотрено законодательством каждой из Сторон.

В силу приложения № 2 к данному соглашению

ПЕРЕЧЕНЬ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ДОКУМЕНТОВ ГРАЖДАН РЕСПУБЛИКИ АБХАЗИЯ,
УДОСТОВЕРЯЮЩИХ ИХ ЛИЧНОСТЬ И ПОДТВЕРЖДАЮЩИХ ГРАЖДАНСТВО
ИХ ВЛАДЕЛЬЦЕВ НА ТЕРРИТОРИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
7. Свидетельство о рождении (для детей в возрасте до 14 лет) с указанием принадлежности к гражданству Республики Абхазия.

Таким образом, выехать она за пределы РФ может на основании свидетельства о рождении.