Можно ли гражданину Кыргызстана зарегистрироваться ИП в Москве?

Можно, при наличии временной регистрации.

Здравствуйте, согласно ст. 13 Федерального закона от 25.07.2002 N 115-ФЗ  «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации»

Иностранные граждане пользуются правом свободно распоряжаться своими способностями к труду, выбирать род деятельности и профессию, а также правом на свободное использование своих способностей и имущества для предпринимательской и иной не запрещенной законом экономической деятельности с учетом ограничений, предусмотренных федеральным законом.

Вы можете зарегистрироваться в качестве ИП.