В вашей ситуации ускорить процесс через официальные каналы сложно, так как справка об отсутствии гражданства Казахстана требует согласования с компетентными органами и обычно фиксированные сроки – 3–6 месяцев. Минюст правомерно указал срок, ускорение возможно только в исключительных случаях, например, через письменное обращение с обоснованием срочности, но гарантии ускорения нет.
Вы можете обратиться в отдел кадров с письмом, где объясните, что справка запрошена и имеется подтверждение обращения из Минюста. Часто работодатели допускают оформление трудового договора с условием предоставления документа позже, но это зависит от внутренней политики и требований ОМОН – некоторые должности строго запрещают начинать службу без всех документов.
Рекомендую оформить официальное уведомление для отдела кадров с приложением подтверждения из Минюста и уточнить, возможно ли оформление документов и прохождение предварительных этапов (медкомиссия, справки, обучение) до получения окончательной справки. Это покажет вашу добросовестность и позволит сохранить место, пока идет процесс.