Имею ли я право самостоятельно отправить судебный приказ о взыскании алиментов?

Можете

ФЗ Об исполнительном производстве

Статья 9. Исполнение лицами, выплачивающими должнику-гражданину периодические платежи, судебного акта, акта другого органа или должностного лица

1. Исполнительный документ о взыскании периодических платежей, о взыскании денежных средств, не превышающих в сумме ста тысяч рублей, может быть направлен в организацию или иному лицу, выплачивающим должнику заработную плату, пенсию, стипендию и иные периодические платежи,непосредственно взыскателем.
(в ред. Федерального закона от 27.12.2018 N 539-ФЗ)
2. Одновременно с исполнительным документом взыскатель представляет заявление, в котором указываются:
1) реквизиты банковского счета, на который следует перечислять денежные средства, либо адрес, по которому следует переводить денежные средства;
2) фамилия, имя, отчество, реквизиты документа, удостоверяющего личность взыскателя-гражданина;
3) наименование, идентификационный номер налогоплательщика или код иностранной организации, государственный регистрационный номер, адрес взыскателя — юридического лица.
(в ред. Федерального закона от 28.11.2018 N 451-ФЗ)
3. Представитель взыскателя представляет документ, удостоверяющий его полномочия, и сведения, указанные в части 2 настоящей статьи, о взыскателе.

Инна, здравствуйте.
Да, Вы вправе это сделать на основании статьи 9 Закона «Об исполнительном производстве», если взыскания не превышают 100 000 (сто тысяч) рублей.
Пишете заявление о направлении исполнительного листа. Помимо самого исполнительного документа прикладываете реквизиты, на которые следует перечислять денежные средства, указываете реквизиты документа, удостоверяющего личность (паспорта), свой ИНН.
Однако есть одно  НО!
В силу части 2 статьи 102 данного закона размер задолженности по алиментам определяется в постановлении судебного пристава-исполнителя о расчете и взыскании задолженности по алиментам исходя из размера алиментов, установленного судебным актом или соглашением об уплате алиментов.
То есть если Вы решите всё же сами направить исполнительный лист работодателю (это будет несколько быстрее), на всякий случай попросите его сообщить об этом судебных приставов.