Как оспорить отказ в выдаче загранпаспорта?

Совершенно верно отказать в выдаче паспорта могут только в случаях указанных в ст. 15 ФЗ от 15.08.1996 N 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию»

 Право гражданина Российской Федерации на выезд из Российской Федерации может быть временно ограничено в случаях, если он:
6) сообщил о себе заведомо ложные сведения при оформлении документов для выезда из Российской Федерации, — до решения вопроса в срок не более одного месяца органом, оформляющим такие документы;

Однако тут стоит учесть, что расхождение в чтении фамилии не может рассматриваться как сообщение заведомо ложных сведений в силу того что буквы Е и Ё являются равнозначными, на что обращено внимание

<Письмо> Минобрнауки России от 01.10.2012 N ИР-829/08
«О правописании букв „е“ и „ё“ в официальных документах»

Судебная практика по данному случаю исходит из того, что на основании Правил написание букв «е» и «ё» приравнивается. Написание буквы «е» вместо «ё» и наоборот в фамилии, имени и отчествене искажает данных владельца документов, при условии, что данные, на основании которых можно идентифицировать лицо в таких документах, соответствуют.

Соответственно Вам нужно обратиться с письменным заявлением в подразделение МВД по вопросам миграции в котором должны выдать Вам паспорт за получением уведомления об отказе и с учетом полученного уведомления можно обратиться с административным иском в районный суд, по обжалованию действий должностного лица по отказе в выдаче заграничного паспорта.