Можно ли обратиться в гражданский суд с заявлением о возмещении ущерба за причинённый вред здоровью, как и в какой срок это можно сделать?

Да, можете обращаться с исковым заявлением в суд.

ГК РФ Статья 151. Компенсация морального вреда
 

Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.
При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями гражданина, которому причинен вред.