Как оформить записи в трудовой, если я только проходил службу по контракту?

Роман, военкомат не обязан заполнять вам трудовую книжку. А Центр занятости не имеет права требовать её с вас, если её у вас нет. Вместо трудовой достаточно принести контракт вашей военной службы, а если его нет, то справку из военкомата, из которой бы было понятно, где, с кем, когда у вас был контракт, каково было ваше денежное обеспечение. 

В силу пункта 4 Постановления Правительства РФ от 7 сентября 2012 г. N 891 «О порядке регистрации граждан в целях поиска подходящей работы, регистрации безработных граждан и требованиях к подбору подходящей работы»  при постановке на регистрационный учет граждане могут предъявить в том числе следующие документы:

а) трудовая книжка или документ, ее заменяющий, а также трудовые договоры и служебные контракты;

б) документы об образовании, документы об образовании и о квалификации, документы о квалификации, документы об обучении, документы об ученых степенях и ученых званиях;

в) справка о среднем заработке за последние 3 месяца по последнему месту работы (службы);

г) документы, подтверждающие прекращение гражданами трудовой или иной деятельности в установленном законодательством Российской Федерации порядке;

д) документы, подтверждающие отнесение граждан к категории испытывающих трудности в поиске подходящей работы, предусмотренной статьей 5 Закона Российской Федерации «О занятости населения в Российской Федерации».