Я нахожусь под надзором, могу ли я выехать за пределы района для осуществления трудовой деятельности?

нет не можете обязательно нужно уведомить надзорный орган 

Федеральный закон от 06.04.2011 N 64-ФЗ (ред. от 01.10.2019) «Об административном надзоре за лицами, освобожденными из мест лишения свободы»

Статья 11. Обязанности поднадзорного лица
 

1. Поднадзорное лицо обязано:

5) уведомить орган внутренних дел по месту жительства, пребывания или фактического нахождения о перемене места жительства, пребывания или фактического нахождения не позднее чем за три рабочих дня до его перемены, а также в течение трех рабочих дней — о возвращении к месту жительства, пребывания или фактического нахождения, если поднадзорное лицо отсутствовало по исключительным личным обстоятельствам, предусмотренным частью 3 статьи 12 настоящего Федерального закона;