Узнала, что человек которому писала подал заявление(если правда) как быстро могут установить, что я владелица страницы и что будет?

Добрый день. А что именно писали? Какого характера переписка?

В принципе тут возможна уголовная ответственность за клевету, в силу ст. 128.1 УК РФ

 Клевета, то есть распространение заведомо ложных сведений, порочащих честь и достоинство другого лица или подрывающих его репутацию, — наказывается штрафом в размере до пятисот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев либо обязательными работами на срок до ста шестидесяти часов.

Как быстро установят — тут вряд ли кто скажет.

Потому что все зависит от того — будет ли возбуждено дело, расторопности следователя (дознавателя). Если будет, то установят полагаю в течение месяца без проблем

Доброго времени суток! По первым признакам состав очень похож на клевету (ст.128.1 УК РФ), однако органы МВД, видя распространение ситуации, когда люди совершают такое преступление или наоборот, когда податься заявления по такой статье выпустила развернутые разъяснения, касательно границ совершения  незаконного деяния.

… Под распространением сведений, порочащих честь, достоинство или деловую репутацию граждан, следует понимать опубликование таких сведений в печати, трансляцию по радио и телевидению, демонстрацию в кинохроникальных программах и других средствах массовой информации, распространение в сети Интернет, а также с использованием иных средств телекоммуникационной связи, изложение в служебных характеристиках, публичных выступлениях, заявлениях, адресованных должностным лицам, или сообщение в той или иной, в том числе устной,форме хотя бы одному лицу

Сообщение таких сведений лицу, которого они касаются, не может признаваться их распространением, если лицом, сообщившим данные сведения, были приняты достаточные меры конфиденциальности, с тем чтобы они не стали известными третьим лицам...

 полный текст по ссылке https://63.мвд.рф/document/345...

В данном случае Вы успели сообщить о таких сведениях ( а еще нужно, что бы они были не только лживыми, но действительно  порочащих честь и репутацию) одному человеку, к которому эти сведения не касаются, а значит состав преступления действительно усматривается. 

Что насчет поиска человека, то этим занимается полиция проведя оперативно розыскные мероприятия в порядке

ст. 6-8 Закона об Оперативно розыскной деятельности по ссылке http://www.consultant.ru/docum...

То есть, в установленном порядке делается запрос в представительство социальной сети для получения информации, по которой можно будет цепочкой выйти на человека, который сидел с фэйкового аккаунта.

Суденбая практика по 128.1 УК РФ

по ссылке https://sudact.ru/regular/doc/...

Таким образом,  прогноз «что будет» скорее зависит от активности в  действиях органов  полиции.