Можем ли мы как организация взять такого сотрудника?

Здравствуйте Анастасия.

У которого закончился срок миграционной карты Учитывая что в данной эпидемиологической ситуации продлить миграционную карту почти не реально.

В настоящее время МВД РФ были даны соответствующие разъяснения согласно Письму МВД России от 19.03.2020 N 1/2964 «О дополнительных мерах по предупреждению распространения коронавирусной инфекции (2019-nCoV)» следует что:

2. При обращении иностранных граждан, прибывших в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, в том числе в соответствии с международными договорами Российской Федерации о краткосрочных безвизовых поездках для отдельных категорий граждан, а также в случае истечения у данной категории лиц разрешенного срока временного пребывания, принимать решения о продлении срока временного пребывания до 90 дней на основании мотивированного заявления (в произвольной форме) о продлении срока временного пребывания, при необходимости с последующей выдачей транзитных виз для выезда из Российской Федерации.
Воздержаться от применения в отношении иностранных граждан указанных категорий мер административного воздействия, связанных с административным выдворением, депортацией, реадмиссией за нарушение ими миграционного законодательства.

http://www.consultant.ru/docum...

Т.е. иностранные граждане могут как получить миграционную карту так и  продлить срок пребывания в РФ до 90 дней для чего нужно  подать заявление в территориальный орган МВД. т.е. сделать это необходимо в любом случае.

Дополнительные разъяснения также приведены по следующим ссылкам:

https://migrantmedia.ru/novoe-...

https://migrantmedia.ru/migrac...

Соответственно далее Вы можете вступить  в правоотношения в том числе по договору гражданского правового характера с иностранным гражданином, только так это будет законно.