Могу ли я что то потребовать у организации?

Здравствуйте Игорь. Потребовать можете конечно, но сомневаюсь, что работодатель удовлетворит ваше требование. Вы можете отстоять своё право на оплачиваемый труд в суде. В этом случае цифру платы будет устанавливать суд. 

ТК РФ Статья 16. Основания возникновения трудовых отношений

Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен.

Ст.67 ТК

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

Ваша ситуация сводится к вопросу доказывания.

С уважением, Валерий.