Коробки с мебелью намочили и все элементы мебели не подлежат восстановлению

В силу ст. 8 ФЗ  от 30.06.2003 N 87-ФЗ «О транспортно-экспедиционной деятельности» на который сделана ссылка в ответе, предполагается, что 

2. В случае, если утрата, недостача или повреждение (порча) груза не могли быть установлены при приеме груза обычным способом, такое уведомление экспедитору может быть сделано не позднее чем в течение тридцати календарных дней со дня приема груза. Датой уведомления считается дата получения экспедитором такого уведомления.

Поскольку Вы сообщили в куда ранние сроки и непосредственно после приемки груза о выявленных повреждениях, вы вправе требовать возмещение причиненного ущерба.

А исходя из разъяснений приведенных в 

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 23.06.2015 N 25
«О применении судами некоторых положений раздела I части первой Гражданского кодекса Российской Федерации»

12. По делам о возмещении убытков истец обязан доказать, что ответчик является лицом, в результате действий (бездействия) которого возник ущерб, а также факты нарушения обязательства или причинения вреда, наличие убытков (пункт 2 статьи 15 ГК РФ).

Вы можете представить любые доказательства, главное чтобы суд их счел достаточными, в подтверждение причиненного Вам ущерба. 

Соответственно поскольку обязательный претензионный порядок вами соблюден — Вы вправе обратиться в суд с требованием о возмещении вреда.

Размере последнего определяется по правилам ст. 7 ФЗ «О транспортно-экспедиционной деятельности» 

1. Экспедитор несет ответственность перед клиентом в виде возмещения реального ущерба за утрату, недостачу или повреждение (порчу) груза после принятия его экспедитором и до выдачи груза получателю, указанному в договоре транспортной экспедиции, либо уполномоченному им лицу, если не докажет, что утрата, недостача или повреждение (порча) груза произошли вследствие обстоятельств, которые экспедитор не мог предотвратить и устранение которых от него не зависело, в следующих размерах:
1) за утрату или недостачу груза, принятого экспедитором для перевозки с объявлением ценности, в размере объявленной ценности или части объявленной ценности, пропорциональной недостающей части груза;
2) за утрату или недостачу груза, принятого экспедитором для перевозки без объявления ценности, в размере действительной (документально подтвержденной) стоимости груза или недостающей его части;
3) за повреждение (порчу) груза, принятого экспедитором для перевозки с объявлением ценности, в размере суммы, на которую понизилась объявленная ценность, а при невозможности восстановления поврежденного груза в размере объявленной ценности;
4) за повреждение (порчу) груза, принятого экспедитором для перевозки без объявления ценности, в размере суммы, на которую понизилась действительная (документально подтвержденная) стоимость груза, а при невозможности восстановления поврежденного груза в размере действительной (документально подтвержденной) стоимости груза.