Могу ли я его поставить в центр занятости на учет?

Раз сын студент он считается занятым, его не поставят на биржу труда. 

19 апреля 1991 года N 1032-1

—

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

ЗАКОН

О ЗАНЯТОСТИ НАСЕЛЕНИЯ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статья 2. Занятые граждане

Занятыми считаются граждане:
работающие по трудовому договору, в том числе выполняющие работу за вознаграждение на условиях полного либо неполного рабочего времени, а также имеющие иную оплачиваемую работу (службу), включая сезонные, временные работы, за исключением общественных работ (кроме граждан, участвующих в общественных работах и указанных в пункте 3 статьи 4 настоящего Закона) и осуществления полномочий членов избирательных комиссий, комиссий референдума с правом решающего голоса не на постоянной (штатной) основе;
обучающиеся по очной форме обучения в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, включая обучение по направлению государственной службы занятости населения (далее — органы службы занятости);

Здравствуйте, Маруся

Ваш сын является студентом, а значит и является занятым.Как только закончит учебное заведение можете поставить его на учет.