Добрый день, можно ли поставить машину на учёт, если в новом паспорте нет штампа о прописке, хотя она есть

Нет, не можете. Вы должны предоставить регистрацию, так как согласно новым требованиям ГИБДД,  номера автомобиля выдаются только с кодом (номер региона) соответствующему вашей регистрации.

Например;

1. Вы зарегистрированы постоянно в Москве, ставите на учет в Питере, документы выдают с прописанным в СТС и ПТС номером Москвы, номера вы заказываете в частной конторе, которая за 10 минут изготовит их за отдельные деньги.

2. Если  Вы зарегистрированы временно, то и номера выдаются согласно временной регистрации (коде региона), особенность только в том, что в СТС будет присутствовать запись о сроке окончания регистрации, и после этого, вы обязаны вновь сменить СТС + изменения в ПТС согласно продленной, или новой регистрации, и если она будет отличаться от старой (смена региона) то произойдет и смена гос.номеров (если регистрировать будете не в своем регионе, номера снова покупаются отдельно.

Совет; сделайте регистрацию постоянную, или оформите машину на друга, имеющего постоянную регистрацию в месте вашего проживания (региона). Не забудьте сделать потом для себя генеральную доверенность с правом выезда за границу.