Здравствуйте, мой молодой человек служит в ФСБ на Дальнем Востоке, хочет переехать в Москву, чтобы продолжить

По общему правилу, сформулированному в ст. 15 Положения о порядке прохождения военной службы, перевестись с учетом предоставленной Вами исходной информации он может только по личной просьбе

1. Военнослужащий может быть переведен к новому месту военной службы из одной воинской части в другую (в том числе находящуюся в другой местности) в пределах Вооруженных Сил Российской Федерации (других войск, воинских формирований или органов, воинских подразделений федеральной противопожарной службы) в следующих случаях:
д) по личной просьбе (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);

Такого рода перевод возможен при условии получения отношения по месту перевода и согласия руководства по месту службы.

По месту перевода, руководитель подразделения, куда он планирует перевод должен выдать отношение о принятии его на вакантную должность, после этого данное отношение вместе с рапортом о переводе подается начальнику управления по месту службы. Последний принимает решение о целесообразности перевода. Если сочтет, что перевод целесообразен — то рапорт будет удовлетворен.

При этом он наделен правом отказа в его удовлетворении. В этом случае перспектива обжалования такого отказа нулевая — поскольку его не могут обязать в удовлетворении рапорта военнослужащего, поскольку решение о переводе является исключительной прерогативой руководства.