Могу ли я претендовать на долю в этой квартире?

Если папа жив то только он вправе распоряжаться своей собственностью. Если умер то вы вправе претендовать на его имущество, если конечно он не оставил на кого другого завещание. 

ГК РФ Статья 209. Содержание права собственности
 

1. Собственнику принадлежат права владения, пользования и распоряжения своим имуществом.
2. Собственник вправе по своему усмотрению совершать в отношении принадлежащего ему имущества любые действия, не противоречащие закону и иным правовым актам и не нарушающие права и охраняемые законом интересы других лиц, в том числе отчуждать свое имущество в собственность другим лицам, передавать им, оставаясь собственником, права владения, пользования и распоряжения имуществом, отдавать имущество в залог и обременять его другими способами, распоряжаться им иным образом.

Игорь, добрый день.
Согласно п. 1 ст. 572 Гражданского кодекса РФ по договору дарения одна сторона (даритель) безвозмездно передает или обязуется передать другой стороне (одаряемому) вещь в собственность либо имущественное право (требование) к себе или к третьему лицу либо освобождает или обязуется освободить ее от имущественной обязанности перед собой или перед третьим лицом.
Обещание безвозмездно передать кому-либо вещь или имущественное право либо освободить кого-либо от имущественной обязанности (обещание дарения) признается договором дарения и связывает обещавшего, если обещание сделано в надлежащей форме (пункт 2 статьи 574) и содержит ясно выраженное намерение совершить в будущем безвозмездную передачу вещи или права конкретному лицу либо освободить его от имущественной обязанности.
Договор дарения должен быть совершен в письменной форме в случаях, когда договор содержит обещание дарения в будущем.
Договор дарения недвижимого имущества подлежит государственной регистрации.
Таким образом, чтобы расписка имела юридическую силу, она должна пройти государственную регистрацию.