Вопрос: имею ли я право на основании диплома специалиста поступить на бюджет в магистратуру?

получал второе высшее образование

Обучение по следующим образовательным программам высшего образования является получением второго или последующего высшего образования:
 

1) по программам бакалавриата или программам специалитета — лицами, имеющими диплом бакалавра, диплом специалиста или диплом магистра;
2) по программам магистратуры — лицами, имеющими диплом специалиста или диплом магистра;
3) по программам ординатуры или программам ассистентуры-стажировки — лицами, имеющими диплом об окончании ординатуры или диплом об окончании ассистентуры-стажировки;
4) по программам подготовки научно-педагогических кадров — лицами, имеющими диплом об окончании аспирантуры (адъюнктуры) или диплом кандидата наук.

Основание:

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 31.07.2020)
«Об образовании в Российской Федерации» (ст. 69).

В данной норме не говорится о том, какое образование по счету Вы получили, дают ограничения, когда придется учиться платно.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 31.07.2020)«Об образовании в Российской Федерации» (ст. 69, 70) следует считать 

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 31.07.2020)«Об образовании в Российской Федерации» (ст. 69, 108).

 2) обучался в аспирантуре? 

К Вашим планам аспирантура отношения не имеет.

Вывод:

диплом специалиста — на магистра учитесь платно,

диплом дипломированного специалиста — на магистра учитесь бесплатно.