Если он начнёт учиться платно на заочном факультете, имеет ли он право на следующий год попытаться поступить на бюджет на дневное отделение?

Здравствуйте.

Да, конечно. Законодательством это не запрещается и это, к слову, является обыденной практикой. 

Аттестат, если Вы его сдали, можно будет получить по письменному заявлению и пройти все необходимые для поступления испытания. При этом советую забрать аттестат заранее, так как фактически могут возникнуть проблемы (мало ли).

Еще раз повторюсь, никаких запретов на получение одновременно бесплатного и платного обучения законом не предусмотрено.

Удачи.