Скажите, пожалуйста, смогу ли я претендовать на материнский капитал, если первый ребенок родится в июне 2021г, а российское гражданство я получу только через несколько месяцев после этого?

Добрый день! Нет, т.к. право на дополнительные меры государственной поддержки возникает при наличии гражданства Российской Федерации на дату рождения (усыновления) ребенка как у женщины, родившей (усыновившей) ребенка, так и у ребенка, с рождением (усыновлением) которого закон связывает возникновение этого права (Обзор судебной практики по делам, связанным с реализацией права на материнский (семейный) капитал (утв. Президиумом Верховного Суда РФ от 22 июня 2016 г.).
Согласно пп.4 п.1 ст. 3 ФЗ «О дополнительных мерах государственной поддержки семей, имеющих детей»

Право на дополнительные меры государственной поддержки возникает при рождении (усыновлении) ребенка (детей), имеющего гражданство Российской Федерации, у следующих граждан Российской Федерации независимо от места их жительства:
женщин, родивших (усыновивших) первого ребенка начиная с 1 января 2020 года.