Имеет ли право работодатель собирать информацию такого рода, и обязан ли сотрудник отвечать на такие вопросы?

Здравствуйте. Начну с того, что обязанности работников регламентированы Трудовым Кодексом Российской Федерации в статье 21. Там не написано, насколько я могу судить, про обязанность работника выкладывать работодателю всю информацию о себе. Права работодателя в статье 22. То же самое. Следовательно, это неразумно и незаконно.

Кроме того, если сбор той или иной информации обусловлен законом, то работодатель обязан проинформировать о юридической ответственности за сокрытие этой информации. 

В свою очередь, Вы на основании статьи 14 часть 7 ФЗ «О персональных данных» вправе поинтересоваться зачем ему такая информация нужна.