Должен ли он платить налог при вступлении в наследство?

Здравствуйте, Надежда! 

1. НДФЛ на квартиру не платится

2. Платиться государственная пошлина по ст. 333.24 НК РФ пункт 1 подпункт 22: за выдачу свидетельства о праве на наследство по закону и по завещанию: детям, в том числе усыновленным, супругу, родителям, полнородным братьям и сестрам наследодателя — 0,3 процента стоимости наследуемого имущества, но не более 100 000 рублей;

другим наследникам -0,6 процента стоимости наследуемого имущества, но не более 1 000 000 рублей.

3. С момента открытия наследства (смерти дедушки) внук будет обязан оплачивать налог на имущество (п. 7 ст. 408 НК РФ)

Если Вам необходима дополнительная консультация либо помощь в составлении письменных документов, можете обратиться в мой чат, по правилам сайта, услуги в чате платные.
Всего доброго!