И какие документы необходимо предоставить в банк?

Добрый день, Наталья!

Из описанной Вами ситуации следует, что  обязательства по кредитному договору перед банком на момент расторжения брака заемщиками-супругами не исполнены. Данное обстоятельство препятствует изменению кредитного договора без согласия банка.

Так, в соответствии с п. 1 ст. 391 Гражданского кодекса РФ:

1. Перевод долга с должника на другое лицо может быть произведен по соглашению между первоначальным должником и новым должником.

 готов подарить свою долю второму супругу и через полгода/год переписать квартиру на второго супруга

Он не вправе, а потому не сможет этого сделать до тех пор, пока запись об ипотеке не погашена в ЕГРН. 

Нужно ли перед разводом заключать брачный договор, по которому квартира переходит к одному из супругов?? Или нужно просто оформить договор дарения?

Опять же, ни одна из этих сделок в отношении квартиры, обремененной залогом не будет иметь юридической силы без согласия банка. В случае, если согласие от банка будет получено, супруги смогут заключить договор дарения. Кроме того, возможно супруги смогут заключить брачный договор с условием о том, что один из супругов обязуется осуществить безвозмездное отчуждение недвижимости и произвести переход прав в ЕГРН в пользу второго в случае исполнения обязательств по кредитному договору вторым супругом (нужно уточнить у нотариуса, поскольку это сделка под условием).

Если один из супругов получал налоговый вычет за квартиру, получил его полностью, осталось только получение вычета за уплаченные проценты и подал заявление на его получение, а в момент подачи заявления на вычет подали заявление на развод, вычет получит тот, кто подавал заявление?

Да, расторжение брака не влияет на получение уже заявленного по правилам  пп. 2 п. 1 ст. 220 Налогового кодекса РФ налогового вычета.

Как правильно оформить тот момент, что ипотека будет переписываться на второго супруга спустя какое-то время после развода?

Необходимо внести соответствующие изменения в кредитный договор.

И в какой момент банку необходимо сообщать о разводе? Сразу после получения свидетельства о разводе? И какие документы необходимо предоставить в банк? Нужно ли повторно переоформлять страховку жизни и здоровья лицу, которому будет подарена доля и переписана ипотека?

Все эти вопросы могут быть разрешены исключительно  с кредитной организацией (банком) — кредитором по кредитному договору.