Лилия,
по закону вы вправе указать дату увольнения, отличную от от той что предусмотрена общим правилом.
При этом стоит обратить внимание на положения т. 80 ТК :
Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.
Причем формулировка 3 абзаца ст. 80 ТК РФ несколько размыта и под определение «невозможность продолжения работы работником» можно подвести в том числе и требование нового работодателя приступить к работе с указанной даты.
А что до нового сотрудника — в ваши обязанности не входит обучение нового сотрудника