Нужно ли мне ставать на миграционной учет при поездке по России?

Здравствуйте! Да, оформлять миграционный учет нужно.Замечу, что в настоящее время у вас оформлен также миграционный учет.

.1. Согласно части 1 ст.20 Федерального закона «О миграционном учете иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации» 

Иностранный гражданин в случае нахождения в месте пребывания подлежит постановке на учет по месту пребывания в порядке и на условиях, которые установлены в соответствии с настоящим Федеральным законом или международным договором Российской Федерации.

2.Согласно части 3 указанной статьи Закона-

Срок представления уведомления о прибытии иностранного гражданина в место пребывания составляетсемь рабочих дней со дня прибытия в место пребывания

3. Если будете останавливаться в гостинице, то согласно части 3.1 указанной статьи Закона, администрация гостиницы представляет в подразделение по вопросам миграции ОМВД по месту пребывания 

уведомление о прибытии  в течение одного рабочего дня, следующего за днем прибытия иностранного гражданина в место пребывания. Если иностранный гражданин прибыл в место пребывания в нерабочий день (в том числе в один из дней в течение нескольких нерабочих дней), уведомление о прибытии в место пребывания должно быть представлено в орган миграционного учета в течение одних суток, являющихся рабочим днем и следующих непосредственно за нерабочим днем (несколькими нерабочими днями).

4.Что касается снятия с миграционного учета в Мурманске, это зависит от того где вы будете проживать в Москве. Если будете проживатьв гостинице, то согласно части 1.1 статьи 23 указанного Закона, вы сохраните миграционный учет в Мурманске, т.е. заново там вам оформлять его не потребуется:

.

Снятие иностранного гражданина с учета по прежнему месту пребывания не осуществляется при постановке его на учет по новому месту пребывания по адресу гостиницы или иной организации, оказывающей гостиничные услуги,

5.Если же миграционный учет в Москве будет оформлен, напримерна частной квартире,то это будет основаниям для снятия с миграционного учета в Мурманске согласно пункта 1  части 1 ст.23 Закона, т.е. вы будете сняты с миграционного учета в Мурманске, т.е. в этом случае придется там его оформлять заново.