Так ли это, и в каком законе это прописано?

Здравствуйте Илья, Ваше удостоверение действительно согласно Постановление Правительства РФ от 27.11.2006 N 719 (ред. от 15.03.2021) «Об утверждении Положения о воинском учете»

30. В целях обеспечения постановки граждан на воинский учет по месту работы (учебы)

работники, осуществляющие воинский учет в организациях:
(в ред. Постановления Правительства РФ от 06.02.2020 N 103)

а)проверяют у граждан, принимаемых на работу, наличие и подлинность военных билетов (временных удостоверений, выданных взамен военных билетов), справок взамен военных билетов или удостоверений граждан, подлежащих призыву на военную службу, а также подлинность записей в них, наличие мобилизационных предписаний (для военнообязанных при наличии в военных билетах или в справках взамен военных билетов отметок об их вручении), персональных электронных карт (при наличии в документах воинского учета отметок об их выдаче), отметок о постановке на воинский учет по месту жительства или месту пребывания, наличие отметок в паспортах граждан Российской Федерации об их отношении к воинской обязанности, жетонов с личными номерами Вооруженных Сил Российской Федерации (для военнообязанных при наличии в военном билете отметки об их вручении);

А также согласно нормам трудового законодательства.

ст 65 ТК РФ

Если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, при заключении трудового договора лицо, поступающее на работу, предъявляет работодателю:

документы воинского учета — для военнообязанных и лиц, подлежащих призыву на военную службу;

Видимо кадровики у Вашего потенциального работодателя плохо знают действующее законодательство.

Если у Вас остались вопросы или имеются другие неразрешенные вопросы, либо Вам необходима помощь в подготовке правовых документов, прошу Вас обращаться ко мне в чат за более подробной консультацией. Услуги в чате предоставляются на платной основе.
С Уважением Е.В. Дацук