Если ЖКХ не подаёт в суд, могу ли я сам подать в него?

Добрый день, Иван.

Не важно с какими долгами досталась квартира. Обязанность платить за услуги ЖКХ возникают только с момента регистрации собственности.

ЖК РФ Статья 153. Обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги

1. Граждане и организации обязаны своевременно и полностью вносить плату за жилое помещение и коммунальные услуги.
2. Обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги возникает у:

собственника помещения с момента возникновения права собственности на такое помещение с учетом правила, установленного частью 3 статьи 169 настоящего Кодекса;

За исключением кап. ремонта. 

Поэтому напишите заявление на смену лицевого счета. Вам не могут отказать. 

Здравствуйте, Иван!

Хочу уточнить тот момент, который касается долгов, оставленных наследодателем.

«Гражданский кодекс Российской Федерации (часть третья)» от 26.11.2001 N 146-ФЗ

ГК РФ Статья 1175. Ответственность наследников по долгам наследодателя
1. Наследники, принявшие наследство, отвечают по долгам наследодателя

Наследники отвечают по долгам наследодателя в пределах стоимости перешедшего к нему наследственного имущества.