И имеют ли право делать запись в трудовой книжке до подписания трудового договора?

Здравствуйте, Оксана!
Согласно  ч.1 ст.66 Трудового кодекса РФ Трудовая книжка установленного образца является основным документом о трудовой деятельности и трудовом стаже работника.
Согласно  ч.3 ст.66 Трудового кодекса РФ Работодатель (за исключением работодателей — физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной (за исключением случаев, если в соответствии с настоящим Кодексом, иным федеральным законом трудовая книжка на работника не ведется).
Согласно  ч.2 ст.67 Трудового кодекса РФ Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.
Согласно  ч.1 ст.80 Трудового кодекса РФ Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.