Имеет ли право человек зарегистрированный в Москве проживать по другому адресу по праву аренды или нужно обязательно регистрироваться по новому адресу

Здравствуйте, Михаил! 

Граждане Российской Федерации обязаны регистрироваться по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации. Регистрация или отсутствие таковой не может служить основанием ограничения или условием реализации прав и свобод граждан, предусмотренных Конституцией Российской Федерации, федеральными законами, конституциями (уставами) и законами субъектов Российской Федерации.

Согласно Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 (ред. от 17.05.2021) «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации» — граждане, прибывшие для временного проживания в жилых помещениях, не являющихся их местом жительства, на срок более чем 90 дней, обязаны до истечения указанного срока обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов. 

Таким образом, по новому адресу можете оформить временную прописку.