Может ли ребенок самостоятельно подписывать такие документы?

Добрый день, нет, до 18 лет вы являетесь законным представителем и решаете все за своего ребёнка. 

Подписать то он конечно может согласие, но юридическую силу данное согласие иметь не будет.

Добрый день!

Согласно положениям ст. 11 ФЗ от 17 сентября 1998 г. N 157-ФЗ «Об иммунопрофилактике инфекционных болезней»:

2. Профилактические прививки проводятся при наличии информированного добровольного согласия на медицинское вмешательство гражданина, одного из родителей либо иного законного представителя несовершеннолетнего в возрасте до 15 лет или больного наркоманией несовершеннолетнего в возрасте до 16 лет, законного представителя лица, признанного недееспособным в порядке, установленном законодательством Российской Федерации.

Таким образом, учитывая то, что Вашему ребенку полных 15 лет, он вправе подписывать такие документы.