Кто должен подписать распоряжение (приказ) или иной документ на увольнение по собственному желанию работнику ООО и выдать ему трудовую книжку (до назначения нового директора)?

Добрый день, Александр.

Хочу начать с того, что у ООО не может не быть единоличного исполнительного органа, если организация не ликвидируется. Существуют операционный и хозяйственный вопросы. которые должен решать директор.

Из Вашего вопроса неясно: директор был единственным участником или имел большую долю.

Если директор был единственным участником и нет завещания, то в соответствии с п. 6 ст. 93 ГК РФ, п. 8 ст. 21 Федерального закона от 08.02.1998 № 14-ФЗ «Об обществах с ограниченной ответственностью» доля переходит к его наследникам. До дня принятия наследства (6 месяцев с даты смерти) руководство должен принять нотариус в соответствии с договором доверительного управления 

Согласно ст. 1172 НК РФ 

Нотариус принимает меры по охране наследства и управлению им по заявлению лиц, действующих в интересах сохранения наследственного имущества, и осуществляет их в течение срока, определяемого им самим с учетом характера и ценности наследства, а также времени, необходимого наследникам для вступления во владение наследством, но не более чем в течение шести месяцев

Если учредителей несколько, и умерший директор был одним из учредителей, то решение о назначении нового директора принимается учредителями совместно с нотариусом.

Организация не приостанавливает свою деятельность в случае смерти директора или учредителя. Все процессы продолжают действовать, в том числе увольнение, прием сотрудников.